As duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas.
Porém, com acento agudo, é sinônimo de mas e contudo.
Porem, sem acentuação gráfica, é o verbo pôr conjugado na 3.ª pessoa do plural do infinitivo pessoal: eles porem.
Exemplos:
A pronúncia das duas palavras é diferente. Em porém (po-RÉM) a sílaba tônica é o rém e em porem (PO-rem) a sílaba tônica é o po.
Se quisermos transmitir uma ideia de contraste, usamos a conjunção coordenativa adversativa porém.
As conjunções coordenativas adversativas relacionam orações com a mesma função, mas transmitem uma ideia de contrário. Como exemplos de conjunções coordenativas adversativas temos: porém, mas, contudo, todavia, entretanto.
Atenção!
A palavra porém pode também assumir a forma de um substantivo comum masculino quando utilizada com sentido de impedimento e de obstáculo, bem como de algum aspecto negativo, como um defeito, um senão.
Exemplo: Em tudo o que eu faço você encontra um porém!
Porem é a forma verbal do verbo pôr conjugado na 3.ª pessoa do plural do infinitivo pessoal. O infinitivo pessoal deverá ser usado: sempre que há um sujeito definido, quando se quiser definir o sujeito, quando o sujeito da segunda oração for diferente e para indicar uma ação recíproca.
Verbo pôr – infinitivo pessoal:
(Para eu) pôr
(Para tu) pores
(Para ele) pôr
(Para nós) pormos
(Para vós) pordes
(Para eles) porem
O verbo pôr tem sua origem na palavra em latim ponere e se refere ao ato de colocar, depositar, apoiar, pendurar, incluir, botar.
Veja o vídeo para assistir a uma explicação rápida e divertida!