Estas duas formas - a gente e nós - estão corretas e existem na língua portuguesa. Nós é um pronome pessoal reto que indica um grupo e a gente é uma locução pronominal com valor semântico de nós.
Assim, nós e a gente podem ser utilizados como sinônimos, tendo apenas atenção para a distinta conjugação do verbo. O correto é conjugar o verbo na primeira pessoa do plural com o pronome nós e na terceira pessoa do singular com a expressão a gente.
Com nós, o verbo fica conjugado na 1.ª pessoa do plural:
Com a gente, o verbo fica conjugado na 3.ª pessoa do singular:
É importante estar atento na conjugação dos verbos, para evitar erros comuns, como: a gente vamos, a gente fomos, nós vai, nós pede,...
Nós é o pronome pessoal reto da primeira pessoa do plural. Indica que o sujeito da ação é a pessoa que fala associada a pelo menos mais uma pessoa. Poderá ser utilizado tanto numa linguagem formal como numa linguagem informal.
Exemplos com nós:
A gente é uma locução pronominal formada pelo artigo definido feminino a e pelo substantivo gente, que se refere a um conjunto de pessoas, à população, humanidade, povo. Exprime um sujeito indeterminado, ou seja, as pessoas que falam (nós) ou as pessoas em geral (todos).
A expressão a gente é semanticamente equivalente ao pronome pessoal reto nós e gramaticalmente equivalente ao pronome pessoal reto ela, devendo assim o verbo ser conjugado na terceira pessoa do singular. Esta expressão deverá ser utilizada apenas numa linguagem informal.
Exemplos com a gente: