A forma correta de escrita da palavra é saem. A palavra saiem está errada.
Saem é a forma conjugada do verbo sair na 3.ª pessoa do plural do presente do indicativo: eles saem.
Verbo sair - Presente do indicativo:
(Eu) saio
(Tu) sais
(Ele) sai
(Nós) saímos
(Vós) saís
(Eles) saem
O verbo sair é um verbo irregular, apresentando várias alterações nas suas terminações.
A forma verbal saem, contudo, encaixa no modelo da conjugação dos verbos regulares da 3.ª conjugação (terminados em -ir):
Saem é a única forma verbal do verbo sair conjugada sem a presença da vogal i.
Presente do indicativo:
eu saio, tu sais, ele sai, nós saímos, vós saís, eles saem
Pretérito perfeito do indicativo:
eu saí, tu saíste, ele saiu, nós saímos, vós saístes, eles saíram
Pretérito imperfeito do indicativo:
eu saía, tu saías, ele saía, nós saíamos, vós saíeis, eles saíam
Pretérito mais-que-perfeito do indicativo:
eu saíra, tu saíras, ele saíra, nós saíramos, vós saíreis, eles saíram
Futuro do presente do indicativo:
eu sairei, tu sairás, ele sairá, nós sairemos, vós saireis, eles sairão
Futuro do pretérito do indicativo:
eu sairia, tu sairias, ele sairia, nós sairíamos, vós sairíeis, eles sairiam
Presente do subjuntivo:
que eu saia, que tu saias, que ele saia, que nós saiamos, que vós saiais, que eles saiam
Pretérito imperfeito do subjuntivo:
se eu saísse, se tu saísses, se ele saísse, se nós saíssemos, se vós saísseis, se eles saíssem
Futuro do subjuntivo:
quando eu sair, quando tu saíres, quando ele sair, quando nós sairmos, quando vós sairdes, quando eles saírem
Imperativo afirmativo:
sai tu, saia você, saiamos nós, saí vós, saiam vocês
Imperativo negativo:
não saias tu, não saia você, não saiamos nós, não saiais vós, não saiam vocês
Infinitivo pessoal:
por sair eu, por saíres tu, por sair ele, por sairmos nós, por sairdes vós, por saírem eles
Infinitivo: sair
Gerúndio: saindo
Particípio: saído