Estas duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. São duas formas equivalentes do particípio do verbo eleger, que é um verbo abundante. Elegido é o particípio regular e eleito é o particípio irregular. O verbo eleger se refere ao ato de nomear por votação ou de escolher entre duas ou mais coisas, sendo sinônimo de: nomear, votar em, escolher, optar por, preferir e selecionar, entre outras.
Verbos abundantes são aqueles que possuem duas formas equivalentes no particípio, ou seja, particípio duplo com uma forma regular e outra irregular. O particípio permite a formação de tempos verbais compostos e transmite a noção da conclusão da ação verbal, ou seja, o estado da ação depois de terminada.
A forma regular (elegido) se emprega preferencialmente na voz ativa com os verbos auxiliares ter ou haver.
A forma irregular (eleito) se emprega preferencialmente na voz passiva com os verbos auxiliares ser ou estar.
Infinitivo: eleger, ganhar, pagar, morrer, extinguir,…
Particípio regular: elegido, ganhado, pagado, morrido, extinguido,…
Particípio irregular: eleito, ganho, pago, morto, extinto,…
Exemplos: