Cair, caí e cai são formas conjugadas do verbo cair. As três formas existem e estão corretas.
Cair é a forma do verbo no infinitivo.
Exemplo: Tenha cuidado para não cair!
Caí é a forma conjugada do verbo cair na 1.ª pessoa do singular do pretérito perfeito do indicativo (eu caí) ou na 2.ª pessoa do plural do imperativo (caí vós).
Exemplo: Ontem eu caí e torci o tornozelo. (pretérito perfeito)
Cai é a forma conjugada do verbo cair na 3.ª pessoa do singular do presente do indicativo (ele cai) ou na 2.ª pessoa do singular do imperativo (cai tu).
Exemplo: Você não acha que aquele garoto cai muito? (presente do indicativo)
A dúvida na escrita de cair ou caí ocorre porque, na linguagem cotidiana e corrente, o r final da forma no infinitivo não é pronunciado, ficando a pronúncia de cair igual à de caí. Uma forma fácil de saber quando usar o infinitivo é pela substituição da palavra duvidosa por outro verbo:
A pronúncia das formas verbais cai e caí é diferente. Em cai a vogal tônica é a vogal a (cAi) e em caí a vogal tônica é a vogal i caÍ):
O infinitivo impessoal é usado, principalmente, em locuções verbais, quando o verbo tiver regência de uma preposição e quando não houver um sujeito definido.
O pretérito perfeito do indicativo é usado para indicar uma ação que ocorreu num momento específico do passado.
Verbo cair - Pretérito perfeito do indicativo:
(Eu) caí
(Tu) caíste
(Ele) caiu
(Nós) caímos
(Vós) caístes
(Eles) caíram
Nota: Caí, na 2.ª pessoa do plural do imperativo, tem um uso muito reduzido. O vós está em desuso no português do Brasil, sendo frequentemente substituído por vocês (caiam vocês).
O presente do indicativo é usado principalmente para indicar uma ação habitual ou uma ação que ocorre no exato momento em que se narra a ação.
Verbo cair - Presente do indicativo:
(Eu) caio
(Tu) cais
(Ele) cai
(Nós) caímos
(Vós) caís
(Eles) caem
O imperativo afirmativo é usado para indicar uma ordem, conselho, solicitação ou súplica.
Verbo cair - Imperativo afirmativo:
(Eu) ---
(Tu) cai
(Ele) caia
(Nós) caiamos
(Vós) caí
(Eles) caiam