As duas palavras existem e estão corretas. Apresentam, contudo, significados e pronúncias diferentes.
Ai, sem acentuação gráfica, é um monossílabo formado por um ditongo.
A vogal tônica é a vogal a (Ai).
Aí, com acento agudo, é um dissílabo formado por um hiato.
A vogal tônica é a vogal i (a-Í).
Ai é usado maioritariamente como uma interjeição usada para expressar dor, desespero e tristeza, mas também espanto, alegria e contentamento:
Ai pode ser também um substantivo masculino, indicando um gemido de dor ou lamento.
Aí é usado maioritariamente como advérbio. Apresenta uma pluralidade de significações: nesse lugar, nesse local, nesse momento, nessa circunstância, nesse ponto, nesse caso, nessa hipótese, mais ou menos, em anexo.
Aí pode ser usado também como uma interjeição usada para expressar aprovação, reconhecimento, estímulo, graça e malícia:
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